H(s) בקר הזוית הרצויה זרוע רובוטית פוטנציומטר

Transcript

1 בקרה לינארית בקרת זרוע רובוטית הנעה במישור אנכי ע"י בקרה לינארית בסיסית מטרות הניסוי: בניסוי זה נבצע בקרה של זרוע רובוטית אשר נעה במישור אנכי ע"י מספר בקרים לינאריים בסיסיים: בקר הגבר, משוב טכומטרי, רשת קידום ורשת פיגור (הן בתכנון root locu והן באמצעות תכן במישור התדר). כמו כן נכיר את תכנת הסימולציה imulink ונבנה בעזרתה את המערכת אותה נרצה לבקר. המערכת המבוקרת אינה לינארית ואנו נעזר בתכנת הסימולציה imulink ובתכנת MATLAB לצורך ביצוע התכנון ובדיקתו. לצורך ביצוע הניסוי נדרשת היכרות בסיסית בלבד עם תכנת imulink וכן היכרות עם סוגי הבקרים השונים. θ r H() בקר זרוע רובוטית הזוית הרצויה פוטנציומטר תרשים מס' : תיאור המערכת

2 DC מנועי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל רקע פיסיקלי של המערכת הינם נפוצים ביותר בתעשייה. מנועי ה- מכיוון שמאפייני מנועי ה- AC המרת אנרגיה חשמלית לאנרגיה מכאנית. מידול מתמטי של מנוע ה- :DC DC המעגל המתאר את התנהגות המנוע נתון בתרשים. הלכו ותפסו את מקומם של מנועי ה- AC אינם ליניאריים ובכך קשים יותר לבקרה. עיקר פעולתו של המנוע היא המודל מורכב משני מעגלים מרכזיים: הסטטור והרוטור. הסטטור מספק שטף מגנטי φ כאשר במקרה שלנו הינו קבוע. מהירות הרוטור נשלטת ע"י מתח הכניסה וכיוונה נשלט ע"י קוטביות המתח. ARM R L Stator I em Tm Travity Jm B פרמטרי המערכת: R התנגדות הכניסה של המנוע תרשים מס' : התנהגות פיסיקלית של המנוע [ Ω] - לשם פשטות, נניח כי L זניח (קצר) - סליל הרוטור Hy] [ L [ Volt] מתח הכניסה למנוע -V in [ Volt] מתח מושרה - e m - זרם הרוטור Amp] [ i [ Wb] שטף מגנטי - φ B - מקדם חיכוך ויסקוזי T m מומנט סיבוב של המנוע N m rad /ec [ N m] k m - J m אנרציית המנוע והזרוע ] [

3 עבור אנליזה לינארית המומנטים המתפתחים ע"י המנוע פרופורציוניים לשטף המגנטי φ ולזרם N m. Amp m ( ) T t K i φ K T m, K כאשר T φ K m הרוטור i: כאשר K m הינו קבוע. K m מכיוון ש- φ ו- נקבל - קבועים נגדיר הוא קבוע המומנט של המנוע m () () ( ). T t K i t. V R i t + e in T () ( ) m ומהמעגל החשמלי מתקבל - כשהרוטור מסתובב, מושרה כא"מ (back emf) e m הפרופורציוני לשטף המגנטי ולמהירות, ומתנגד e K t K t K t ( ) ( ) ( ) φ ω ω θ() 3 m B B cont Volt. rad /ec למתח הכניסה: (back emf contant) קבוע המתח המושרה הנגדי - K B כאשר כידוע מפיסיקה, המומנט של כוח שווה למכפלה של אורך הזרוע בכוח המוענק לו, ולכן המומנט הכולל על ציר המנוע T Arm הוא הסכום של המומנט הנוצר עקב הזרמת זרם במנוע T, ravity הנוצר עקב כוח הכבידה המופעל על הזרוע (ראה תרשים 3): T m ושל מומנט הכבידה () () + ( ) T t T t T t Arm m ravity m inθ l θ m תרשים מס' 3: מאזן כוחות ציר המנוע 3

4 מומנט הכבידה מופעל על מרכז המסה של הזרוע. בהנחה כי המשקל מפוזר בצורה זהה בכל הזרוע, l המרחק עד מרכז המסה הינו / l עבור זרוע באורך הוא הכוח בכיוון האנכי יחסית לזרוע. (תרשים 3). m in ( θ ( t) ) המומנט שווה למכפלת הכוח האנכי במרחק למרכז המסה: l. Travity () t m in θ() t T in t 4 ( ) ( θ() ) ( ) כאשר m מסת הזרוע, קבוע הכבידה, ו- T הינו מומנט חוסר האיזון המקסימלי. N m rad /ec B [ k m ] J m עבור עומס בעל מומנט אינרציה ומקדם חיכוך ויסקוזי המומנט הנדרש. T J θ t + B t Arm m הינו () θ () Jm θ t + B t Tm t + Travity t ( ) θ( ) ( ) () ( 5) TArm : ) ( ואת משוואה 3) ( נקבל את משוואת המומנטים: נציב למשוואה ( ( את משוואה T () m Vin R + KB θ t KT K K K R R T B T Tm Vin θ t () ( 6) : ( 4) ( 6) נציב למשוואה (5) את משוואה ואת K K K T in t + Jm t + B t Vin R R t T B T ( θ() ) θ () θ() θ() KB KT B T KT θ () t + θ() t + in ( θ() t ) Vin (7) Jm R Jm Jm Jm R הערה חשובה: במהלך הניסוי יקבעו נתונים שונים לפי מספרי תעודת הזהות שלכם: - Z 0 הספרה האחרונה של שותף א' (ספרת ביקורת). - Z הספרה האחרונה של שותף ב' (או הספרה שלפני האחרונה אם אין שותף). 4

5 חלק א' מודל המערכת הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל להלן מודל המערכת (ה- (Plant שנבנה בהתאם למאפייני המנוע הפיסיקליים (מתאר את מד"ר (7)): Gravity Plant T T in in(θ) Vin um K t /R Reitance um /J m inertia Interator Interator θ B friction θ_dot K b B.emf כאשר קבועי המערכת מייצגים: תרשים מס' 4: דיאגרמת בלוקים של המערכת המבוקרת [ k m - J m אנרציית המנוע והזרוע ] N m Amp - קבוע המומנט של המנוע [ Ω] K T R התנגדות המנוע Volt rad /ec - K B קבוע המתח המושרה הנגדי N m rad /ec - B מקדם חיכוך ויסקוזי [ N [m מומנט חוסר האיזון המקסימלי T- [ Volt] מתח הכניסה למנוע -V in [ rad] זווית הזרוע יחסית לאנך θ- K B K ; T J m 0. ; rad ec R 0 ; B θ θ _ dot המהירות הזוויתית של הזרוע כאשר הערכים המספריים של הקבועים הם: 5

6 V in תרגילי הכנה - חלק א':. כתבו את המשוואה הדיפרנציאלית המלאה המתארת את התנהגות המערכת המקשרת בין ל- θ מתוך דיאגרמת הבלוקים הנתונה (מבלי להציב את הערכים המספריים). נא לפרט את כל שלבי החישוב! השוו עם (7) את התוצאה המתקבלת.. בשלב זה נרצה לקרב את המערכת למערכת לינארית לשם ביצוע אנליזה לינארית (שהיא כמובן נוחה יותר), ולכן נניח כי הזווית θ קטנה ונחליף את הגורמים המתאימים: כתבו את פונקצית התמסורת. coθ ו- in ( θ ) θ in ( ) ( ) θ () G עבור הקירוב הלינארי כתלות בפרמטרי המנוע. V. β KT R J m, α K K B R J J T B + m m לצורך נוחות החישוב סמנו: בשלב זה, לפני שאתם עונים על השאלות רצוי לקרוא את נספח א' ונספח ב'. את תפקיד ה- " K ", ההגבר, במערכת שלנו ימלא הפרמטר T. אם כן נבנה את מסלולי הקטבים של.[,0] T בתחומי הערכים ] [0, G () כפונקציה של ו-.3 T עבורו R. L. א) מצאו את הפונקציה עבורה צריך לשרטט במקרה זה (שימו לב, כי הפרמטר אתם נדרשים לשרטט R. L. אינו בצורתו הסטנדרטית). עבור הקבועים המספריים הנתונים שרטטו RL.. של קטבי המודל הלינארי כתלות.T [,0] ] [0, T ו- T בפרמטר בתחומים את השרטוט אפשר לצייר בשתי דרכים (נספח א'): ב- MATLAB. iotool בעזרת הכלי.rlocu בעזרת הפונקציה RL.. T 0, ± ( Z + ) /0 0 ב) חשבו את מיקום הקטבים של פונקצית התמסורת עבור וסמנו על ה- עבור אלו מבין הערכים המערכת יציבה אסימפטוטית. תנו בנוסף נימוק פיסיקלי לכל אחד מהמקרים. 6

7 T 0, ± ( Z + ) /0.4 שרטטו דיאגרמת Bode של התמסורת שהתקבלה עבור הערכים באותה מערכת צירים. עבור איזה תחום תדרים מתקבל הבדל משמעותי בין המערכות השונות? שימו לב כי בסעיף זה מומלץ ביותר לשרטט את הדיאגרמה, הגבר ופאזה, בעזרת פקודת bode של MATLAB (ראה נספח ג'). חלק ב בקר הגבר בשלב זה ננסה לבקר את המערכת בחוג סגור. כמוראה בשרטוט: נתחיל בבקר הלינארי הפשוט ביותר, בקר ההגבר, teta_r d teta Sum Kp Gain Vin Sum Plant תרשים מס' 5: בקר הגבר K p המשוואה המאפיינת את הבקר היא תרגילי הכנה חלק ב : בחלק זה נבחר במודל הלינארי in p r ( ). V K θ θ () G של ה- plant המתקבל עבור. T 0. א. בטאו את פונקצית התמסורת המלאה המתקבלת עבור החוג הסגור עם בקר ההגבר ללא. T ( ) θ θ r ( ) ( ) ההפרעה 0) () dt :( SISO dein tool תוך. K > 0 p RL.. עבור ה- ב. plant הנבחר ציירו כתלות ב- בדקו באמצעות שימוש ב- contraint (כפי שמוסבר בנספח א') מהם ההגברים אשר גורמים למקדמי ריסון של )? K p צרפו את השרטוטים המתקבלים. ) ζ ו- ( K p ) ζ 0.3 כיצד ניתן להגיע לתוצאות זהות באופן אנליטי? השוו!.(SISO המתקבל לכל אחד מהבקרים? (רמז: ניתן לקבלו גם מדיאגרמת הפאזה ב- ω n מהו התדר 7

8 עבור כניסת הפרעה של מדרגה בגודל הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל ו-( )G. 5 : d 5 d( ),θ r ( ) כפונקציה של θ ( ). א. כתבו את הביטוי ל- r ( t) 0.θ,ε 0.[ rad ] K p3 ב. חשבו מהו שמבטיח שגיאת מצב מתמיד של עבור כניסת השתמשו ב- SISO לצורך מציאת מקדם הריסון ζ ו- ω n שמתקבל עבור הגבר זה? היעזרו בקשר: () ( ) lim ( ( ) ( )) e lim θ t θ t θ θ SS r r t 0 צרפו את השרטוט המתקבל. θ? נמקו! ג. כיצד תשתנה תשובתכם לסעיף ב', אם בנוסף ל- d(t) קיימת כניסת מדרגה t r ().3 הניחו שאין הפרעה. מהם O. S, t, t הצפויים עבור שלושת ההגברים:? K, K, K p p p3 t t peak ettlin peak ettlin ζ, ωn שחישבתם ובקשרים המקורבים הבאים: ( πζ ζ ) π OS..[%] exp / 00% ζ ωn 3 (5%) ζω n O.S.[%] תוך שימוש ב- רכזו את התוצאות בטבלה הבאה: הגבר K p K p K p3 t ettlin ( 5% )[ec t peak [ec] הסבירו את מקור תוצאות ה- t ettlin שהתקבלו? עבור אלו הגברים ישתנו תוצאות אלו? חלק ג שימוש במשוב נוסף, משוב טכומטרי טכומטר- (מד-מהירות, מיוונית: ταxομετρο טאכוס - מהירות, מטריין - מדידה) הוא מכשיר המשמש למדידת המהירות של גוף או חומר נע. הצורה הנפוצה ביותר של טכומטר היא זו שמודדת את המהירות של ציר מסתובב, כמו במנוע או מכונה אחרת. 8

9 K p, K d K d המשוב הטכומטרי מוסיף פרמטר נוסף - כאשר ע"י קביעת ערכיהם של ניתן לשלוט באופן מלא במיקום קטבי החוג הסגור. Teta_ref Sum Kp Kp Sum Vin Plant Teta Teta_d Scope Kd Kd תרשים מס' 6: טכומטר ללא הפרעה תרגילי הכנה חלק ג :.T בחלק זה נתייחס למודל המתקבל עבור 0 K p, K d r ( ) ( ) 3. א. רשמו את פונקצית התמסורת בחוג סגור עם הקירוב הלינארי, כאשר הבקר הוא: θ ()T בתלות ב- θ ובפרמטרי המערכת ( ). V K θ θ θ K in p r d. β ו- α, K p, K d, β ו- α ב. רשמו את הקטבים בחוג סגור בתלות ב- ג. רשמו את שגיאת המצב המתמיד כניסה מאופסת,V in בגודל ε כתוצאה מהפרעה שמתווספת ל- 5 d (עבור, α ו-. β השווה לשגיאת המצב המתמיד שהתקבלה K p, K d θ), בתלות ב- r 0 עבור בקר ההגבר בחלק ב', שאלה., והסבר את התוצאות. K p, K d 3. מצאו את כך שתהיה עמידה בדרישות הבאות: (בקר ) ζ ε 0.05 (בקר ( tettlin ( ) [ ] ± 5% ec ζ א. ב. 9

10 t ג. הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל (בקר 3) ettlin ( ) [ ] ε ± 5% ec 0.05 כאשר שגיאת מצב מתמיד מתייחסת למערכת עם הפרעה הספציפיקציות מתייחסות למערכת עם d() 5 d() 0 וכניסת מדרגה עבור כל מקרה מצאו את הקטבים בחוג סגור של פונקצית תמסורת השתמשו בקירוב הידוע עבור וכניסה מאופסת, ושאר.ω n.θ r() ()T ואת תדר התנודות.t ± ettlin ( 5% ) t) ε lim θ ( t) θ( עבור המערכת הכוללת כניסת t r 3.3 מצאו את הביטוי לשגיאת המצב המתמיד - d () 5,θ כניסת הפרעה בגודל - 5 r() מדרגה - המודל הלא לינארי ושימוש במשוואות המערכת הזמניות השאירו את ההגברים ו- 0.5 T תוך הצבת הערכים עבור K, K כפרמטרים. (רמז:. לצורך ביצוע סעיף זה רצוי לעבוד עם המשוואות הזמניות בלבד. p d. חשבו מה קורה במצב מתמיד לנגזרות של עבור אלו ערכי θ השגיאה קטנה/גדולה? (.θ () t אליהן הגעתם בשאלת ההכנה.. חלק ד תכנון בשיטת root-locu הקדמה: שיטת root-locu אשר הומצאה ע"י Evan בשנת 948 הינה שיטה גראפית לניתוח ותכנון של מערכות בקרה. השיטה מבוססת על מיפוי מיקום הקטבים של תמסורת החוג הסגור כפונקציה של פרמטר (הגבר) K והמערכת בחוג הפתוח. השיטה מתאימה למערכת המאופיינת ע"י: r(t) + - e(t) KH() u(t) G() y(t) תרשים מס' 7: תכנון root locu כאשר G() הינה המערכת המבוקרת, ה-.plant בחוג הסגור התמסורת המתקבלת: 0

11 ( ) ( ) ( ) ( ) Y() KH G T ( ) R() + KH G בשיטה זו מתקבל אוסף של עקומות פרמטריות (התלויות בפרמטר K) במישור המרוכב () אשר מציינות את תנועת קטבי החוג הסגור. מיקומו של הקוטב במישור מלמד ישירות על התדר העצמי ועל מקדם הריסון, מה שמאפשר קבלת.( t ettlin ) מידע מקורב על מאפייני המערכת כמו תגובת יתר, זמן עלייה ) t r ( וזמן התייצבות הסבר מקוצר על תכנון בשיטת.L :.R תחילה נניח כי רשת תיקון מורכבת מרשת קידום (lead) אחת ורשת פיגור (la) אחת. כמו כן, נניח כי למערכת בחוג סגור עם רשת תיקון, ישנם קטבים דומיננטיים שאותם נוכל לקבוע מתוך הספציפיקציות. + Z H () K Z < P + P תהליך התכן: נתכנן בקר קידום מהצורה: למערכת.G() ζ.ω n ו- ) מתוך הספציפיקציות נמצא את ζ ו- ω n נחשב את המיקום הרצוי של הקטבים הדומיננטיים בחוג סגור:., n j n ) מתוך ζ ω ± ω ζ 3) נקבע שרירותית את קוטב הבקר שיהיה "מספיק מהיר", כלומר יחסית רחוק משמאל במישור הקומפלקסי. 4) נעזר בתנאי הזווית (עבור קוטב דומיננטי) למציאת האפס של רשת הקידום הנדרשת: G ( ) + H( ) 80 : K 5) נעזר בתנאי המודול למציאת. P Z ו- K.( K ) ε, נמצא היחס בין + P G ( ) + Z + Z H () Z > P + P θ ( ) r lim 0 + HHG ( ) כעת נתכנן רשת פיגור מהצורה: 6) מתוך חישוב של שגיאת מצב המתמיד

12 P שרירותית, כך שרשת הפיגור תמוקם באזור קרוב לראשית, מצד שמאל במישור 7) נקבע את הקומפלקסי. (קביעה זו עלולה לשנות כמובן את מיקום הקטבים הדומיננטיים!). תרגילי הכנה חלק ד': 0 T תכננו רשת קידום עפ"י שיטת root-locu אשר תמקם את קטבי החוג הסגור על 4. עבור. t בחרו את קוטב רשת הקידום: ettlin ( ) מנת לעמוד בדרישות הבאות: ζ ec 5% 4.. P חשבו את הקטבים של המערכת בחוג הסגור, האם מתקבלים קטבים דומיננטיים? 0 א. עבור רשת הקידום שבניתם בשאלה הקודמת, חשבו את קטבי החוג הסגור עבור 0 T ובדקו האם התכנון שתוכנן ל- T עונה על הדרישות גם בערכים אלו. ± ( Z + )/0 t ettlin ( ) 5%, t, O. S ב. מהי הפגיעה הצפויה בביצועי המערכת: r כתוצאה מתוספת הגרביטציה (השינוי ב-.(T 4.3 לרשת הקידום שתכננתם בסעיף הוסיפו רשת פיגור כך שתתקיים עמידה בדרישה של שגיאת.T 0 θ. בצעו את החישוב עבור המקרה r() מצב מתמיד של 0.0 ε עבור כניסת ריצה 4.4.T א. חשבו את פונקצית התמסורת הכוללת בחוג סגור עבור 0 ב. מצאו את הקטבים הדומיננטיים שמתקבלים. האם יש שינוי ביחס למערכת ללא רשת הפיגור?

13 חלק ה': תכנון Bode תכנון במישור התדר התכן בתחום התדר מתחיל בתגובת התדר של המערכת הנתונה זה נקבל את תגובת התדר של המערכת ע"י הצבת jω בפונקצית תמסורת )- jω, G( אמפליטודה ופאזה. בניסוי ). G( נשתמש בתכן.T 0 בתחום התדר על מנת לשלוט ברוחב הסרט, ביציבות המערכת, וב-. PM בחלק זה קבעו תהליך התכן במישור התדר: ) נבחר רשת התיקון מהצורה: ω co (נקודת חיתוך של גרף ( ). H + K Z + P ) נבנה דיאגרמת בודה של המערכת,G() ובעזרתה נחשב את נקודת ההגבר עם ( 0dB (3 בנקודת ה- ω co נחשב את הפאזה ( ). PM ( exit) 80 + φ ωco הקיים: PM ו- φ ( ω co ).θ max (4 נגדיר את תוספת הרצויה בפאזה: exit) PM ( needed) PM ( 5) כעת נחשב את פרמטרי רשת תיקון מתוך פתרון של מערכת משוואות הבאה: ω co inθ max ZP Z / P + Z / P ω co זהה גם לאחר הוספת הבקר. 7) נבחר את הגבר הבקר כך שנקבל jωco + P K jωco + Z חלק ה' תרגילי הכנה: 5. הוכיחו כי הנוסחה עבור חישוב הגבר הבקר K, היא אכן נכונה. 5. א. שרטטו עקום בודה (הגבר ופאזה) של המערכת. ω co ואת ה- PM הקיים של המערכת. ב. מצאו את. PM 60 + Z Z 5.3 תכננו בקר ע"י תכן במישור התדר לקבלת הדרישה הבאה: 0 3

14 מהלך הניסוי המלצה: על מנת להקל עליכם את הכנת הדו"ח המסכם רצוי מאוד שכבר במהלך הניסוי תעשו את החישובים שנגזרים מהגרפים (זמן התייצבות, מקדמי ריסון וכו') על מנת שלא תצטרכו ליצור את הגרפים מחדש. תזכורת: במהלך הניסוי יקבעו נתונים שונים לפי מספרי תעודת הזהות שלכם: - Z 0 הספרה האחרונה של שותף א' (ספרת ביקורת). - Z הספרה האחרונה של שותף ב' (או הספרה שלפני האחרונה אם אין שותף). מעבדה - חלק א': היכנסו ל- MATLAB והפעילו את הכלי imulink (ע"י כתיבת הפקודה imulink בשורת הפקודה). הבלוקים הדרושים למהלך הפרויקט נמצאים בספריה CLAB (שאלו את המדריך על מיקום הספריה המדויק). לצורך עבודה נוחה לפני תחילת הרצה הגדירו את הספרייה הנוכחית directory) (current להיות הספרייה בה נמצאים הקבצים. הדבר מתבצע בסרגל הכלים של MATLAB ע"י לחיצה על הכפתור המסומן: במידה והסרגל הנ"ל אינו מופיע ניתן להוסיפו תחת.Dektop >> CLAB ע"י הקשת הפקודה (באותיות גדולות): תפתח ספריית הבלוקים הנחוצים למהלך העבודה (אם לאחר הפעלת הפקודה לא מופיע חלון חדש, קראו למדריך). פתיחת משטח עבודה חדש ע"י:.file new Model את הבלוקים הרצויים העבירו ע"י גרירה לחלון החדש שפתחתם. סיבוב בלוק מתבצע ע"י.ctrl + R את הגדרות הבלוקים ניתן לשנות ע"י לחיצה כפולה עליהם. הקפידו לתת שמות מתאימים לבלוקים. הוספת כניסות נוספות לבלוק ה- um מתבצעת ע"י שינוי בשדה:.Lit of in לרשותכם בלוק אנימציה תלת מימדית המאפשר הסתכלות כוללת על המנוע ועל הזרוע הרובוטית. ניתן להזיז בבלוק זה את המנוע ולשנות את כווני הצפייה. 4

15 * הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל פתחו משטח חדש והעבירו אליו את ה- plant, את בלוק האנימציה, את ה-,cope וכניסה קבועה מאופסת. חברו כמוראה בתרשים 8. כניסת ה- plant היא,V in יציאת ה- plant העליונה היא θ והתחתונה היא.θ תרשים מס' 8: מערכת ללא בקרה לחיצה כפולה על ה- plant תפתח את חלון הפרמטרים שלו. כתנאיי התחלה למערכת הכניסו [ X 0] כאשר θ θ. X ( Z + Z ) /00 0 לפני תחילת הסימולציה חשוב לבחור את שיטת האינטגרציה ולקבוע את הפרמטרים הרלוונטיים ע"מ לקבל גרפים "חלקים". תחת imulation confiuration parameter olver שנו את ההגדרות הבאות: Solver- ode3tb Min tep ize Relative tolerance- E-5 כמו כן חשוב לשנות את זמן הסימולציה על מנת שהמערכת תספיק להתייצב time).(top לפני ביצוע סעיפים אלה רצוי מאוד לקרוא את נספח ג' ונספח ד'. ( ± ( Z + )/0, 0) 0 T השונים הריצו את הסימולציה עבור שלושת ערכי והסבירו את התנהגות ( המערכת בכל אחד מהמקרים, צרפו את הגרף המתאים והסבירו מה מתקבל בו. השוו עם התוצאה התאורטית (שאלת הכנה.3). 5

16 ( הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל עבור 0.5 T אתחלו את המערכת בנקודה חשבו את תדר התנודות ואת זמן ההתייצבות. [ π ( X + 0.) 0] (3 ע"פ הגרף המתקבל ב-. cope חשבו על דרך להראות כי התגובה של המערכת הלינארית המקורבת, יכולה להיות שונה מתגובת המערכת הלא לינארית. תנו לפחות דוגמא אחת לסימולציה בה יש הבדל בין שתי התגובות. כיצד תנאי ההתחלה משפיעים על הבדל זה? מעבדה - חלק ב': פתחו משטח חדש. ההפרעה. חברו ליציאה ניתן לבצע מדרגה בגודל. הרכיבו את מערכת בקר ההגבר כפי שמופיעה בתרשים מס' 5 zoom in/out ללא תוספת cope ב-.cope העליונה) את בלוק האנימציה ו- plant ה- (יציאת θ ( ( ולנתח את הגרף בדיוק רב..(T בשלב ראשון נבצע סימולציה של הזרוע ללא גרביטציה (0 הביאו את ה- plant למצב התחלתי של [0 0]. הקפידו על דיוק מרבי. לכניסה חברו כניסת א. ב. 4) עבור כל אחד מההגברים שמצאתם בתרגילי ההכנה בדקו את תאימות הציפיות עבור: S. O. (באחוזים)..t peak.t ± ettlin ג. ) 5% ( רכזו את התוצאות בטבלה הבאה: O.S.[%] צפוי tettlin [ec] מדוד 5% tettlin [ec] 5% צפוי t peak[ec] מדוד t peak [ec] צפוי O.S.[%] מדוד הגבר K ( ζ 0.3) p K p ( ζ 0.707) K ( ζ 0.06) p3 האם ישנם הבדלים בין התוצאות הצפויות למדודות? אם כן, מה מקורם? צרפו את הגרפים של תגובת המערכת, לכניסת מדרגה? ( θ, ( עבור כל אחד מהבקרים. מהי שגיאת המצב המתמיד 6

17 השאירו את כניסת המדרגה 0.5.T הריצו θ ואת תנאי ההתחלה ב- [0 0] וקבעו r() / 5) א.. K האם הבקרים מבצעים את המשימה בתוספת, K p p את הסימולציה עבור ההגברים הגרביטציה? (עמידה במקדם הריסון הנדרש). צרפו את גרפי התגובה. הסבירו את התוצאה. T והוסיפו הפרעה. d () /5 שאר הפרמטרים ללא שינוי. ב. קבעו 0 מהי שגיאת המצב המתמיד המתקבלת עבור כל אחד מהבקרים. צרפו את גרפי השגיאה והסבירו את ההתנהגויות השונות של הבקרים. איזה בקר נותן ביצועים טובים יותר? מעבדה חלק ג': (6 המערכת הינה ללא גרביטציה ) 0 הטכומטרי וחברו כניסת מדרגה. הציבו את ערכי הקבועים p T) וללא הפרעה. בנו את בקר ההגבר בצירוף המשוב K, K d שמצאתם בשאלת הכנה 3. OS.. עבור בקר בלבד, קבעו את תנאי ההתחלה: [0,[0.0+(Z0+Z)/00 חשבו את ה- ובדקו עמידה בדרישות ζ). t, ettlin צרפו את גרף התגובה. ) הוסיפו הפרעה d () 5/ למערכת כמוראה בשרטוט קבעו את כניסת המערכת לאפס והשאירו (7 את תנאי ההתחלה כבסעיף הקודם (ניתן להוסיף בלוק סימולציה תלת מימדית במקביל ל- cope ): Diturbance 0 Contant Sum Kp Kp Sum Vin Plant Teta Teta_d Scope Kd Kd תרשים מס' 9: טכומטר בתוספת הפרעה הוציאו מהגרפים את שגיאת המצב המתמיד המתקבלת עבור שלושת הבקרים השונים. בדקו עמידה בדרישות וצרפו את גרפי השגיאה. 7

18 ε t ettlin השוו את דיוק התוצאות שהתקבלו עבור ועבור בסימולציה ביחס לחישוב התיאורטי. האם יש פרמטר שהחישוב התיאורטי לגביו מדויק יותר? הסבירו! 8) החזירו למערכת את כניסת המדרגה וכן את הגרביטציה (0.5 T), השאירו את ההפרעה, וקבעו את זווית ההתחלה להיות: [0 0.0]. סכמו את ביצועי שלושת הבקרים בטבלה המצורפת: O.S.[%] t (5%)[ec] ettlin e t [ec] peak בקר בקר בקר 3 א. מי מבין הבקרים נותן את הביצועים הטובים ביותר? ב. מה המחיר אותו אנו משלמים עבור הביצועים הטובים יותר? ג. איך זה מתבטא בקטבי החוג הסגור של המערכת הלינארית? א. צרפו גרפים של V in המתקבל עבור כל אחד מהבקרים לפי תנאי שאלה 8. (9 מצאו את ערכו הסופי של V in המתקבל ובדקו האם ערך זה תואם את שגיאת המצב המתמיד שקיבלתם (חשבו מהו הקשר בין V in לשגיאת המצב המתמיד וצרפו זאת לדו"ח). האם שגיאת המצב המתמיד תגדל אם נגדיל את המדרגה בכניסה? ב. כעת בדקו את השפעת זווית הכניסה θ r על השגיאה כפי שחישבתם בשאלת ההכנה K p 00, K 0 בחרו- d האם הגדלת הכניסה (מערכה המקורי השווה ל- ) תקטין או תגדיל את השגיאה? עבור איזה כניסה, מגמת השפעת הכניסה תשתנה לראשונה? (אם בהגדלת הכניסה השגיאה קטנה אז עבור איזה כניסה היא תתחיל לגדול? גרפי השגיאה המתקבלים עבור הכניסות: התיאורטית שהייתם מצפים לקבל. וההפך) סמנו ערך זה ב- c.θr צרפו את [ θ 0.4, θ, θ + 0.4] r c r c r c. השוו לתוצאות (רמז חשוב: שימו לב כי כאן אתם נדרשים לבדוק את השפעת הכניסה בעוד שבחישובים התיאורטיים קיבלתם תוצאה התלויה בזווית המוצא בלבד!! חשבו מה הקשר ביניהם.) 8

19 מעבדה חלק ד': שרטוט המערכת: תרשים מס' 0: דיאגראמת בלוקים עבור תכנון root locu בנו מהרכיבים הקיימים בספריה את המערכת הכוללת את שני הבקרים ובדקו את הביצועים המתקבלים ללא גרביטציה θ / וללא תוספת הפרעה r T, עבור כניסת מדרגה 0 ( ) t 5%, t, O. S, ε ettlin peak ) שהתקבלה? פרטו ונמקו! צרפו את גרפי התגובה והשגיאה. חברו כניסת ריצה ). האם קיימות חריגות בין החישוב התיאורטי לתוצאה θ, / האם מתקבלת שגיאת מצב מתמיד כצפוי? r איך לפי דעתכם ניתן לשפר את התוצאות שהתקבלו בסעיפים הקודמים. (0 ( ( מעבדה - חלק ה': תרשים מס' : דיאגראמת בלוקים עבור תכן במישור התדר.θ / r בנו את המערכת בתוספת רשת תיקון שהכנתם בדו"ח מכין, עם כניסת מדרגה 9

20 בדקו את הביצועים המתקבלים ללא גרביטציה ) ). צרפו את הגרף ( ) t 5%, t, O. S ettlin peak (3 המראה את שגיאת המצב המתמיד שקיבלתם ואת התגובה למדרגה. נבדוק עמידה בדרישות PM ונמצא את ω. co נחבר בכניסה אות סינוס בעל אמפליטודה בגודל (4 Error) בשאלת הכנה 5.). בדקו את יחס האמפליטודות בין אות השגיאה (שקיבלתם ω co ותדר בתרשים ) והיציאה.teta שימו לב כי אתם מתבקשים לחשב את ההגבר בין השגיאה ליציאה ולא מהכניסה ליציאה כי ההגברים שתכננתם לפיהם את הבקרים הם הגברי החוג הפתוח, שזה במקרה זה ההגבר בין השגיאה ליציאה. צרפו את גרף השגיאה. ω co ו- PM מתוך חשבו הפרש הפאזות בין אותות אלו. האם לדעתכם אפשר להסיק מסקנות על מדידות הנ"ל? אם כן, עשו זאת, אם לא, הסבירו מדוע! נספח א' :SISOTOOL. הגדירו בחלון הפקודות את פונקציות התמסורת (כתלות במשתנה ) איתן ברצונכם לעבוד. א. על מנת שתוכלו להשתמש ב- כמשתנה, עליכם להגדירו כפונקצית תמסורת ע"י הפקודה tf function) (tranfer באופן הבא: >> tf('') ב. הגדירו את התמסורת הרצויה כתלות במשתנה, לדוגמא: >> H(+)/((+)*(+3)) הפלט שיתקבל: Tranfer function: ^ באופן דומה הגדירו את כל התמסורות הרצויות (H, G וכו'). >>iotool. בחלון הפקודות של ה- Matlab כתבו את הפקודה: יפתח חלון SISO dein tool הנראה כך: 0

21 3. בחלון המסומן בעגול בחרו את קונפיגורציית המשוב הרצויה בעזרת הלחצנים FS ו- -/+. הקונפיגורציה השימושית עבורכם היא ברירת המחדל של התוכנה כפי שמופיעה בציור. 4. על מנת למלא את שדה ה- c() (המוקף במלבן) ולבחור את שאר התמסורות בהתאם לקונפיגורציה, לחצו file import ויפתח החלון הבא:

22 בחלון זה תנו ערך מתאים לכל אחד מהבלוקים C,F,H,G כאשר המשתנים המופיעים בצד שמאל תחת העמודה SISO model הינם פונקציות התמסורת שהגדרתם בחלון הפקודות. ע"י החצים תוכלו לבחור את התמסורות הרצויות..plant הינו ה- G- C- הינו הבקר במהלך ניסוי זה עבור רשת קידום, רשת פיגור ובקר הגבר.

23 לאחר שתבחרו את התמסורות ישורטט ה- :rootlocu הוספת אילוצים: 3

24 ניתן להוסיף אילוצים על הפרמטרים השונים של המערכת. ( ζ, ω, t, o..) n ביצוע הפעולות כפי שמוראה בתרשים לעיל יפתח חלון בשם New Contraint בו ניתן לבחור את ההגבלות הרצויות: לאחר בחירת ההגבלה יסומן התחום בו מתקיימת הדרישה הרצויה לדוגמא: בעזרת כלי זה, ניתן לראות עבור איזה הגבר (במקרה זה) מתקיימת הדרישה הרצויה. בדוגמא זו, בחרנו הגבלה על מקדם הריסון של המערכת להיות פחות מ וניתן לראות את התחום המתאים (החלק הכהה מסמן את החלק שמתאים לתחום הרצוי ואילו החלק הבהיר מסמן את 4

25 התחום שאינו רצוי). בדוגמא זו ניתן לראות כי עבור הגבר של 0.96 ומטה, המערכת מקיימת את הדרישה. הפונקציה rlocu הפונקציה rlocu מחשבת ומשרטטת root locu עבור מערכת LTI עם כניסה יחידה ומוצא יחיד.(SISO) שרטוט ה- root locu משמש לניתוח מערכת עם משוב שלילי ומראה את התנהגות הקטבים בחוג סגור כתלות בהגבר k. לפונקציה מספר צורות שימוש:. הפונקציה מקבלת תמסורת (SYS) המוגדרת כפי שהוסבר בפרק על ה-,iotool ווקטור הגברים (K) ומשרטטת את הקטבים החוג הסגור עבור הגברים אלו בלבד: >>rlocu(sys,k) לדוגמא :. הפונקציה משרטטת root locu עבור מספר תמסורות על אותו גרף. >>rlocu(sys,sys,...) 5

26 >>rlocu(y,'r',y,'y',y3,'') ניתן לבחור את צבע הגרף עבור כל מערכת: לדוגמא : 3. הפונקציה מחפשת נקודות על ה- root locu עבור ההגבר המבוקש (הקטבים המתקבלים עבור הגבר זה) בצורת מערך. >>Rrlocu(SYS,K) 4. שרטוט root locu עבור הגברים שליליים מתקבל כשרטוט root locu עבור. SYS 6

27 P( ). P נספח ב' שרטוט Root Locu עבור צורה לא סטנדרטית: ( ) α + β+ γ + δk נתייחס לצורה הבאה: נרצה לשרטט Root Locu לפי הפרמטר K כשהפונקציה הנתונה החוג הסגור ו-,, βγδ -,α קבועים וידועים. היא פונקציית התמסורת של לשם כך, נתאים את פונקציית התמסורת הנתונה בחוג סגור לצורה הכללית של תמסורת חוג סגור עבור משוב יחידה. כלומר, עבור חוג סגור מהצורה: r(t) + - e(t) K u(t) T() y(t) NT K KT DT K NT. + KT N + K D + K N D T T T ( )T אותה אנו מחפשים T שפונקציית התמסורת הכללית שלו היא: N T כאשר הוא המונה (Numerator) של התמסורת D T ו- הוא המכנה.(Denominator) כלומר, בפולינום האופייני בחוג סגור האפסים של T() מוכפלים ב- K, והקטבים שלה לא מוכפלים. ה- D T + K N T R.L. מתאר את מיקום השורשים של כפונקציה של K. אנחנו רוצים לדעת כיצד זזים D T + K N T α β γ δ כפונקציה של K, לכן את הפולינום האופייני השורשים של K נתאים α β γ δ K DT + K NT N T δ DT α + β + γ לפולינום האופייני של תמסורת הנתונה: ( ) T δ α + β+ γ מכאן, פונקציית התמסורת שלפיה נשרטט.L :.R 7

28 נספח ג' שיטה לעבודה נוחה עם גרפים: א. ב. לחיצה כפולה על בלוק ה- cope תפתח את הגרף. ע"י לחיצה כפולה על לחצן ה- parameter (המסומן בציור) יפתחו מאפייני הגרף: בחרו Format של,Array בחרו שם משתנה והקפידו לבחור את אופציית ה- ave data to.workpace ג. לאחר שתריצו את הסימולציה עברו לחלון ה- matlab הראשי שם יופיע המשתנה אותו הגדרתם. במשתנה זה שתי עמודות. עמודה אחת של הזמן ועמודה שנייה של ערך היציאה באותו זמן. ע"י הפקודה יפתח fiure ובו הגרף של ערך המוצא >> plot (ScopeData( :, ),ScopeData( :, )) ) θ) ביחס לזמן. השימוש ב- fiure נוח יותר ומאפשר העתקה של הגרף, zoom In/Out הוספת תוויות וכו'. ד. בנוסף שמירת הנתונים ב- workpace מאפשרת מניפולציות על המערך כמו מציאת מקסימום. 8

29 הפונקציה plot הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל הפונקציה מקבלת שני וקטורים, ציר x וציר y ומשרטטת לפיהם את הגרף.. שרטוט בודה עבור מערכת אחת: שימו לב כי נפתח חלון fiure כברירת המחדל וכל גרף שתשרטטו יפתח עליו. >> plot(x, Y) לכן, על מנת שתוכלו להשתמש בכמה גרפים במקביל צריך להגדיר לו לפני כל פקודת plot לאיזה fiure רוצים שהגרף יצוייר. זאת עושים ע"י הפקודה ויפתח fiure מס' (לדוגמא). >>fiure () הפונקציה bode הפונקציה מקבלת תמסורת (SYS) המוגדרת כפי שהוסבר בנספח א', ומשרטטת את עקומי ההגבר והפאזה שלה.. שרטוט בודה עבור מערכת אחת: >>bode(sys). שרטוט בודה עבור מספר מערכות עם מערכת צירים משותפת (אותו גרף). בחירת הצבעים אופציונלית: >>bode(sys,'r', SYS,'y--',SYS3,'x') 9

30 נספח ד' הסבר לעבודה עם הסימולטור: כאשר תשתמשו בבלוק האנימציה התלת-מימדית (3D (Animation יפתח חלון המסמלץ את תנועת הזרוע הרובוטית. החלון שנפתח הינו: ניתן לראות את המנוע ואת הזרוע המחוברת אליו שנעה בהתאם לזווית הכניסה של הסימולציה (בניסוי זה, זוהי זווית היציאה של ה- plant ) לנוחיותכם הכנו כמה נקודות צפייה נוחות point).(view מעבר בין הנקודות מתבצע על החיצים המוקפים בריבוע. תזוזה חופשית מתבצעת ע"י החיצים שמסומנים בעיגול. אם ברצונכם להריץ שוב את הסימולציה אין צורך לחזור לחלון המערכת שבניתם, אלא להשתמש בלחצן ה- tart/run/continue imulation המסומן במשולש. הניסוי נכתב ע"י צופיה פרץ וחגי אשל בהנחיית אריה נחמני חורף תשס"ז 30